ThS36.022_Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới
Nội dung đề tài: “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới”
1. Lý do chọn đề tài
MỞ ĐẦU
Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn
có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm
cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại
mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc
biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những
tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng
hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối
với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài
toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực
trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã
có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,
A.Yger, A.Zeriahi,… Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với
hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát
hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến
phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi
tiếng của Cartan-Boutroux.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp
khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ
điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:
– Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong
£ cũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu
Euclid trong £. n n
– Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong £ suy ra bất đẳng thức
so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển
trong £.
– Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về
n n cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa
Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa
điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.)
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày:
– Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà
dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối.
– Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
– Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa
điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị
phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở
trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra.
Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu
loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương
pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm
đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–
vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như
đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-
ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương
đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực
tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa
điều hoà dưới.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được
