ThS36.020_Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến
Nội dung đề tài: “Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến”
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein …
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho ,XY là hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G)
là một tập con mở của X(tương ứng Y), A (tương ứng B) là một tập con
của D (tương ứng G) và Z là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ
thập như sau:
XY ký hiệu là : (( ) ) ( ( )). W D A B A G BÈÈÈ
Bao chỉnh hình của chữ thập W là một tập con mở ”tối ưu” của
W được đặc trưng bởi các tính chất sau:
Với mỗi ánh xạ
thì tồn tại một ánh xạ ( , )f zh khi : f W Z thoả mãn
( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( , ), ,
f a G B Z G Z a A f b D A Z D Z b B
( , )z w WÎ dần tới Î È Ç Î Î È Ç Î CO CO
( , )f W ZÎ O sao cho với mọi ()z, h .
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho , , , , ,X Y D G A B và Z và W như trong bài toán 1.Giả sử
( ) ,WÎz, h,MW tập hợp a : : ( , ) , ,
M w G a w M a AÎ Î Î được gọi là thớ thẳng đứng của M trên a
(tương ứng b : : ( , ) , ,M z D z b M b BÎ Î Î
được gọi là thớ nằm ngang của M trên b). ( , )f z wdần tới
Ta nói rằng 2 M có tính chất nào đó trong các thớ trên
A (tương ứng B) nếu tất cả các thớ thẳng đứng
b,,M b BÎ) có tính chất này. a ,, M a AÎ (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu
W là bao chỉnh hình của W được đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con
MW đa cực địa phương đóng tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên
tồn tại một tập”tối ưu” các điểm kỳ dị MW
là đa cực địa phương đóng tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối)
được đặc trưng bởi các tính chất sau. Với mọi ánh xạ
: f W Z thoả mãn A và ( , ) (( ) , ) ( , ), ,( , ) (( ) , ) ( , ), ,
f a G B \ M Z G \ M Z a A f b D A \ M Z D \ M Z b B
thì tồn tại ánh xạ tới ( , )f zh khi Î È Ç ÎÎ È Ç Î CO CO
( \ , )f W M ZÎ O sao cho với mọi ( , ) \z w W MÎ dần tới
B(có thể aabb()z, h .
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
( ) ,W \ MÎz, h
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp kết quả là
W D G. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
bài toán 1 trong trường hợp M Æ) thì
( , )f z w dần , , , , nm X Y A D B G Z
và , , , A D B G X Y Z. Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).
Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong
trường hợp , A D B G và ,XY là các đa tạp Stein,
tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình
trong đó Z là không gian giải W được cho bởi
: ( , ) ) : ( , , ) ( , , ) 1 W z w D G z A D w B GÎ<ww
, ( , , ) ADw và ( , , ) BGw là các hàm độ đo đa điều hoà dưới.
Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem
[24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra
một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ
thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu
này.
Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung
quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp
,XY là các đa tạp tuỳ ý.
Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các
đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane – Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng
một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà
dưới, định lý chữ thập hỗn hợp.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những
chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập
đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ
chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs.
Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một
số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý
Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến.
Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp
tổng quát của bài toán 1và bài toán 2.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo
T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học
sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
trong suốt khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và
Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này
