ThS36.012_Các bài toán hình học tổ hợp
Nội dung đề tài: “Các bài toán hình học tổ hợp”
Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nói chung,
nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi ở mọi cấp. Khác với các bài toán
trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, các bài toán của hình học tổ hợp thường liên
quan nhiều đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Vì lẽ đó các bài toán này mang đặc
trưng rõ nét của toán học rời rạc. (Ít sử dụng đến tính liên tục – một tính chất đặc trưng của
bộ môn giải tích).
Luận án này đề cập đến các phương pháp chính để giải các bài toán về hình học tổ hợp.
Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương.
Chương I áp dụng Nguyên lí cực hạn vào giải các bài toán hình học tổ hợp là một
phương pháp được vận dụng cho nhiều lớp bài toán khác, đặc biệt nó có ích khi giải các
bài toán tổ hợp nói chung và hỗn hợp tổ hợp nói riêng. Nguyên lí này dùng để giải các bài
toán mà trong đối tượng phải xét của nó tồn tại các giá tri lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo
một nghĩa nào đó và kết hợp với những bài toán khác đặc biệt là phương pháp phản chứng,
tập hợp các giá trị cần khảo sát chỉ là tập hợp hữu hạn hoặc có thể vô hạn nhưng tồn tại
một phần tử lớn nhất.
Chương II Nguyên lí Dirichlet: là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu
quả để giải các bài toán hình học tổ hợp. Nguyên lí Dirichlet còn là một công cụ hết sức
nhạy bén có hiệu quả cao dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó đặc
biệt có nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Dùng nguyên lí này trong
nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính
chất xác định. Tuy rằng với nguyên lí này ta chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra
được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự
tồn tại đã đủ.
Chương III Sử dụng tính lồi của tập hợp để áp dụng vào các bài toán tổ hợp, trong
chương này chúng ta đề cập đến hai kết quả hay sử dụng nhất đó là định lí Kelli về tính
giao nhau của các tập hợp lồi và sử dụng phép lấy bao lồi để giải các bài toán hình học tổ
hợp là một trong những phương pháp rất hữu hiệu.
Phần còn lại của luận văn được trình bày vài phương pháp khác để giải các bài toán
hình học tổ hợp.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo của thầy giáo
PGS.TS Phan Huy Khải. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, các
thầy các cô đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường
